Родился 5 мая 1999 г в г. Пензе. В 4 года пришел в школу хоккея «Дизель». Первым тренером преподавателем был Максимов Вячеслав Михайлович. В 2010г. Клим Костин перешел в команду Ак Барс г. Казань.
Сезон 2016/2017гг. выступал за Динамо Балашиха ВХЛ, а затем Динамо Москва КХЛ. Был выбран под первым номером на импорт-драфте CHL (канадской юниорской лиги) в 2016 г.
Клима Костина считали главным фаворитом предстоящего драфта НХЛ среди европейских хоккеистов, но под конец регулярного чемпионата КХЛ нападающий «Динамо» получил тяжелую травму, из-за которой ему пришлось провести полгода без хоккея.
Несмотря на свой юный возраст у Клима уже большой опыт участия в международных турнирах.
2016 Россия U20 Международные товарищеские матчи.
2016 Россия U18 Мемориальный кубок Ивана Глинка.
2016 Россия U18 Чемпионат мира — до 18 лет.
2016 Россия U17 Международные товарищеские матчи.
2015 Россия U17 Международные товарищеские матчи.
2015 Россия U17 World Hockey Challenge U17.
2014 Россия U16 Международные товарищеские матчи.
